Denisenko V. V.'s A Boundary Value Problem for an Elliptic Equation with PDF

By Denisenko V. V.

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Examiner P(0), P(2), P(9), ... En déduire que P − X s’annule sur les points d’une suite strictement croissante, et en déduire P = X. 2) Vérifier que X convient. , n (cf. 31), utin liser : P = P(k)Lk . 40 Noter P = n (X − xk ) et P = k=1 Utiliser le théorème de d’Alembert. 39 Raisonner par l’absurde : supposer que f admette au moins un zéro a ∈ R∗ . ak Xk . k=0 Montrer d’abord : ∀i ∈ 1 ; n , xi 0. Montrer ensuite : ∀k ∈ 1 ; n , 2 − xk 3(−xk )1/3 , en utilisant la comparaison entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique pour les trois nombres 1, 1, −xk .

Le discriminant Δ est : Δ = 502 + 4 · 21 · 39 = 5776 = 762 , donc : (1) ⇐⇒ x = 13 50 + 76 50 − 76 =− ou x = =3 . 2 · 21 21 2 · 21 Ainsi, en tenant compte de la condition x − 1 0: (E) ⇐⇒ x = 3. Finalement, (E) admet une solution et une seule : 3 + 4 i . 14 a) Il s’agit d’un système linéaire de deux équations à deux inconnues, que l’on peut résoudre, par exemple, par combinaison linéaire ou par substitution. 16 1 + a+b a+b = a A= = 1 a−b a−b − a i u + (1 − i )v = 2 i ⇐⇒ u = 1 2 i − (1 − i )v = 2 + (1 + i )v i Puisque |a| = 1 et |b| = 1, on a a = (3), 1 1 et b = , d’où : a b 1 b = b + a = − a + b = −A, 1 b−a a−b b donc : A ∈ i R.

2) Exprimer u, v, w en fonction de x, y, z, puis exprimer le produit uvw en fonction de x, y, z. 9 Exemple de calcul sur une racine n-ième de l’unité dans C Soient n ∈ N∗ , ω ∈ C telle que ωn = 1. Montrer : (1 + ω)n ∈ R. 10 Calculs de formes algébriques et de formes trigonométriques de nombres complexes a) Soit θ ∈ R. On note A = 1 + e i θ et B = 1 − e i θ . Mettre A et B sous forme algébrique et sous forme trigonométrique. b) Soient ρ ∈ [0 ; +∞[, θ ∈ R. On note U = 1 + ρ e i θ . Mettre U sous forme algébrique.

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by Jeff
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