Walter Gubler's Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] PDF

By Walter Gubler

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Haben wir gezeigt, dass g n ∈ {e, g, . . , g ord(g)−1 }, so sind wir fertig. 1 gibt es q, r ∈ Z so, dass n = q · ord(g) + r und 0 ≤ r < ord(g). Damit ist: g n = g q ord(g)+r = (g ord(g) )q · g r = eq · g r = g r ∈ {e, g, . . 2. NEBENKLASSEN 41 Den Fall einer endlichen Ordnung haben wir damit also gezeigt. Zu pr¨ ufen ist nun nur noch der Fall ord(g) = ∞. Nach unserer anf¨ang¨ lichen Uberlegung folgt aus g n = g m immer g n−m = e und damit, da ord(g) = ∞, in diesem Fall n = m. h. unendlich viele und die Behauptung ist somit gezeigt.

4. Wir betrachten nun einige Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen. Seien also ϕ : G1 → G2 und ψ : G2 → G3 Gruppenhomomorphismen. Es gilt: i) ϕ(e1 ) = e2 , wobei e1 das neutrale Element von G1 und e2 analog das neutrale Element von G2 sind. ii) ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 iii) ψ ◦ ϕ ist Gruppenhomomorphismus. Beweis: Auch diese Beweise sind verh¨ altnism¨aßig leicht. Ein paar ein¨ fache Uberlegungen liefern uns jeweils den Ansatz. i) Wir erhalten hier: ϕ(a) = ϕ(e1 · a) = ϕ(e1 ) · ϕ(a) Aufgrund der Eindeutigkeit des neutralen Elementes von G2 muß damit aber ϕ(e1 ) = e2 erf¨ ullt sein.

Gr enth¨ alt. 2. Die Elemente g1 , . . , gr werden genau dann Erzeugende eines Ideals I genannt, wenn I =< g1 , . . , gr > erf¨ ullt ist. 3. Ein Ideal I R heißt genau dann Hauptideal, wenn es ein g ∈ I gibt so, dass I =< g >, also I = Rg. Weiter heißt ein Ring R genau dann Hauptidealbereich, wenn R ein Integrit¨atsbereich und jedes Ideal von R ein Hauptideal ist. 4. Z ist ein Hauptidealbereich. 62 KAPITEL 3. RINGTHEORIE Beweis: Dass es sich bei Z um einen Integrit¨atsbereich handelt ist bereits bekannt.

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by Kevin
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